在德國數學家格爾德·法爾廷斯於 1983 年證明了莫德爾猜想之後，他被授予菲爾茲獎，該獎項通常被描述為“數學界的諾貝爾獎”。該猜想描述了一個條件集，在該條件下，兩個變數（例如 x2 + y4 = 4）的多項式方程保證只有有限數量的解可以寫成分數形式。
法爾廷斯的證明解答了一個自 20 世紀初以來一直懸而未決的問題。此外，它為其他未解之謎打開了新的數學大門，研究人員至今仍在探索其中的許多問題。近年來，數學家在理解這些分支及其對更基礎數學的意義方面取得了誘人的進展。
莫德爾猜想的證明涉及以下情況：假設兩個變數的多項式方程定義了一條曲線。莫德爾猜想核心的問題是：曲線的虧格與定義該曲線的多項式方程存在的有理數解的數量之間是什麼關係？虧格是與描述曲線的多項式方程中的最高指數相關的屬性。它是一個不變屬性，意味著即使對曲線應用某些運算或變換，它也保持不變。
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莫德爾猜想核心問題的答案是，如果代數曲線的虧格為 2 或更大，則多項式方程將存在有限數量的有理數解。（此數量不包括僅是其他解的倍數的解。）對於虧格為零或虧格為一的曲線，可能存在無限多個有理數解。
“就在 100 多年前，莫德爾猜想這個虧格控制了這些曲線上有理點的有限性或無限性，”劍橋大學的數學家霍莉·克里格說。考慮一個點 (x, y)。如果 x 和 y 都是可以寫成分數的數字，則 (x, y) 是一個有理點。例如，(1⁄3, 3) 是一個有理點，但 (√2, 3) 不是。克里格說，莫德爾的想法意味著“如果你的虧格足夠大，你的曲線在某種程度上在幾何上是複雜的”。她在 2024 年聯合數學會議上就莫德爾猜想的歷史以及隨後的工作做了一個特邀講座。
法爾廷斯的證明點燃了探索擴充套件莫德爾猜想的問題的新可能性。其中一個令人興奮的問題——統一莫德爾-朗猜想——是在 1986 年提出的，同年法爾廷斯被授予菲爾茲獎。
克里格說，哈佛大學的巴里·馬祖爾正式提出的統一莫德爾-朗猜想“在一系列論文中得到證明，最終在 2021 年達到頂峰”。四位數學家——加州理工學院的韋塞林·迪米特洛夫、加州大學洛杉磯分校的齊揚·高和瑞士巴塞爾大學的菲利普·哈貝格爾（他們是合作者）以及都柏林大學學院的拉斯·庫恩（他獨立工作）的工作導致了該猜想的證明。
對於統一莫德爾-朗猜想，數學家們一直在問：如果您將數學討論範圍擴大到包括更高維度的物件會發生什麼？那麼，關於數學物件的虧格與相關的有理點數量之間的關係，可以說什麼呢？事實證明，答案是，與曲線或更高維物件（如曲面）相關的有理點的上限（意味著可能的最高數量）僅取決於該物件的虧格。對於曲面，虧格對應於曲面中的孔數。
然而，根據迪米特洛夫、高和哈貝格爾的說法，有一個重要的警告。“幾何物件（曲線、曲面、三維流形等）[必須]包含在一個非常特殊的周圍空間內，即所謂的阿貝爾簇，”他們在給大眾科學的電子郵件中寫道。“阿貝爾簇本身最終也由多項式方程定義，但它配備了群結構。阿貝爾簇具有許多令人驚訝的特性，它們甚至存在本身就是一個奇蹟。”
克里格說，統一莫德爾-朗猜想的證明“不僅解決了一個已經開放 40 年的問題”。“它觸及了數學中最基本問題的核心。”這些問題集中在尋找有理數解（可以寫成分數的解）的多項式方程。此類問題通常被稱為丟番圖問題。
哈貝格爾說，莫德爾猜想“是幾何學決定算術學意義的一種例項”。該團隊對證明統一莫德爾-朗猜想的貢獻表明“有理點數量本質上受幾何學限制”，他說。因此，證明統一莫德爾-朗猜想並沒有給數學家一個關於給定虧格將有多少有理數解的精確數字。但它確實告訴他們解決方案的最大可能數量。
2021 年的證明當然不是莫德爾猜想分支問題的最終篇章。“莫德爾最初猜想的美妙之處在於它開啟了一個更廣泛問題的世界，”馬祖爾說。根據哈貝格爾的說法，“主要的未解決問題是證明有效的莫德爾”——原始猜想的一個分支。解決這個問題將意味著進入另一個數學領域，在該領域中可以精確地確定給定場景存在多少有理數解。
在證明統一莫德爾-朗猜想所給出的資訊與實際解決有效的莫德爾問題之間存在著巨大的差距。哈貝格爾說，知道給定情況下有多少有理數解的界限“並沒有真正幫助你”確定這些解是什麼。
“假設你知道解的數量最多為一百萬。如果你只找到兩個解，你永遠不會知道是否還有更多，”他說。如果數學家能夠解決有效的莫德爾問題，那將使他們極大地接近能夠使用計算機演算法快速找到所有有理數解，而不是不得不一個一個地費力地搜尋它們。