公元前5世紀的某個時候，希臘哲學家希帕索斯，一個秘密的畢達哥拉斯兄弟會的成員，離開了他在義大利南部的家，登上了一艘遠洋航行的船。我們不知道希帕索斯旅行的原因或他要去哪裡，但我們確實知道他沒有到達目的地。根據傳說，一旦船隻遠離海岸，這位可憐的哲學家就被他的畢達哥拉斯兄弟們襲擊並扔進了海里。
畢達哥拉斯學派有充分的理由對他們的兄弟下手。追隨他們的創始人畢達哥拉斯的教義，他們熱烈地相信世界上的一切都可以用整數及其比率來描述。但希帕索斯證明了正方形的對角線與其邊長是不可通約的，或者，正如我們今天所說，根號2（對角線相對於邊長的長度）是無理數。這意味著無論邊長被分割多少次，對角線被分割多少次，最終的大小永遠不會相等。
希帕索斯的發現改變了西方數學的程序。首先，它表明正方形的邊長和對角線的比例不能用簡單的比率來描述，這注定了畢達哥拉斯學派的失敗。其次，它表明線不能被描述為一連串微小的點串在一起，否則這些點將作為所有大小的共同度量。希帕索斯證明，離散的數字和點永遠無法完全捕捉由連續實體（如線和麵）組成的世界。因此，唯一合適的數學科學是幾何學——研究連續量之間關係的學科。
支援科學新聞事業
如果您喜歡這篇文章，請考慮透過以下方式支援我們屢獲殊榮的新聞事業 訂閱。透過購買訂閱，您正在幫助確保關於塑造我們今天世界的發現和想法的有影響力的故事的未來。
在接下來的兩千年裡，希帕索斯的教訓在很大程度上沒有受到挑戰，幾何學佔據了至高無上的地位。直到16和17世紀，荷蘭（西蒙·斯蒂文）、英國（托馬斯·哈里奧特、約翰·沃利斯）特別是義大利（博納文圖拉·卡瓦列裡、埃萬傑利斯塔·托里切利）的新一代數學家才開始探索離散點和連續量之間的嚴格分離。他們想知道，如果我們假設一條線是由無窮小組成的——由微小的，或無限小的點組成的，會發生什麼？同樣，一個平面是由並排放置的線組成的，一個立體是由堆疊在一起的面組成的？
他們很快發現，結果是驚人的。在這種有問題的假設的幫助下，他們能夠輕鬆地計算幾何曲線的長度及其斜率，幾何圖形的面積和立體的體積——這些結果如果使用傳統的幾何學，要麼極其困難，要麼根本不可能實現。到1700年，艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·萊布尼茨將這種方法變成了我們所知的強大演算法“微積分”，它可以應用於從行星運動到弦的振動和炮彈的飛行等任何事物。
新的無窮小方法的先驅們非常清楚他們的方法建立在不穩定的邏輯基礎上，但在大多數情況下他們並不在意。他們認為，只要他們的方法能夠得出正確的結果，那麼它就一定是根本上正確的。然而，其他人並不那麼樂觀。來自義大利的耶穌會士到英國的哲學家主教喬治·貝克萊的批評者指責無窮小破壞了數學甚至理性本身，並且不可避免地會導致嚴重的錯誤。於是爭論愈演愈烈。
最終，在19世紀的最初幾十年，法國數學家奧古斯丁-路易·柯西結束了這場爭論。柯西意識到，新數學的問題在於它應該對應於物質現實。希帕索斯已經證明，這永遠行不通。因此，在他的1821年出版的《分析教程》中，柯西在不借助線是由無窮小點組成的直觀想法的情況下，重新構建了微積分。他嚴格地將“導數”和“積分”的核心概念定義為無窮級數的極限，沒有參考曲線斜率或圖形面積的唯物主義概念。
透過將微積分轉變為嚴謹的數學系統，柯西結束了一場持續了兩千多年的衝突。公元前5世紀，希帕索斯表明數學永遠無法完全描述世界。公元19世紀，柯西表明數學不必如此：數學將在自身的基礎上生存和發展，擺脫物質現實的束縛。現代數學由此誕生。