這裡有一個每個人都能解決的數學問題：1 − 1 等於多少？0。到目前為止還不錯。如果我們再加一個 1，總和就會增加，但如果我們再減去一個 1，我們又回到了 0。假設我們永遠這樣做下去
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
結果總和是多少？這個問題看起來很簡單，甚至很傻，但它困擾了 18 世紀一些最偉大的數學家。悖論圍繞著這個問題，因為關於總和的多種看似合理的論證得出了截然不同的結論。第一個深入研究這個問題的人認為它解釋了上帝是如何創造宇宙的。它在現代術語中的解決說明，數學比有時所認為的更具人文性。
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猜猜您認為這個無窮級數等於多少。我給你多個選擇
A. 0
B. 1
C. ½
D. 它不等於任何值
如果我們包含暗示性的括號，那麼 0 的論證自然而然地就出現了
(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ...
回想一下，在數學中，運算順序規定我們先計算括號內的，然後再計算括號外的。每個 (1 − 1) 都抵消為 0，因此上面算出來是 0 + 0 + 0 +...，顯然等於零。
然而，括號位置的輕微移動會產生不同的結果。如果我們把第一個 1 放在一邊，那麼第二項和第三項也會抵消，第四項和第五項也會抵消
1 + (–1 + 1) + (–1 + 1) + (–1 + 1) + …
同樣，所有的括號都加起來為 0，但我們在開頭有一個額外的正 1，這表明整個表示式的和為 1。
義大利僧侶兼數學家路易吉·圭多·格蘭迪於 1703 年首次研究了這個級數（無限多個數字的總和）。格蘭迪，這個特定的級數現在以他的名字命名，他觀察到，僅僅透過移動括號，他就可以使級數的和為 0 或 1。據數學史學家喬治·巴尼稱，這種算術上的不一致性對格蘭迪具有神學意義，他認為這表明無中生有是“完全合理的”。
級數的和既是 0 又是 1 似乎是自相矛盾的，但當然選項 C (½) 同樣令人困惑。無限多個整數的和怎麼可能得到一個分數呢？然而，最終格蘭迪和 18 世紀許多著名的數學家都認為答案是 ½。格蘭迪用一個寓言來論證這一點：想象一下，兄弟倆從父親那裡繼承了一顆寶石，每個人都把它放在自己的博物館裡，隔年輪流保管。如果這種寶石來回傳遞的傳統在他們的後代中延續下去，那麼這兩個家庭將各自擁有這顆寶石的 ½ 所有權。
作為證明，我不建議在下次數學考試中寫寶石的故事。德國數學家戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨同意格蘭迪的結論，但他試圖用機率推理來支援它。萊布尼茨認為，如果你在隨機點停止求和級數，那麼你在該點之前的和將以相等的機率為 0 或 1，因此將它們平均為 ½ 是有道理的。他認為結果是正確的，但承認他的論證更“形而上學而非數學”。
瑞士數學家萊昂哈德·尤拉採用了更復雜的方法來論證 ½，並在他 1760 年的論文 De seriebus divergentibus （翻譯：“論發散級數”）中以相當防禦性的段落回應了那些不同意的人。尤拉斷言，“毫無疑問，事實上級數 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 等等和分數 ½ 是等價量，並且總是允許將一個替換為另一個而不會出錯。” 所以很多聰明人都強烈支援選項 C。
像這樣的無窮級數困擾著思想家，至少可以追溯到古希臘，芝諾的運動悖論就是如此。在一個著名的例子中，芝諾觀察到，要走一條路，必須先走完一半，然後必須走完剩餘距離的一半（總路徑的 ¼），然後再走完剩餘距離的一半（⅛），等等。可以永遠細分下去，這表明我們每次走一條路，都會在有限的時間內完成無限多的動作——這是一個悖論。
雖然哲學家們在 2400 年後的今天仍在爭論芝諾悖論的形而上學意義，但數學家們在 19 世紀後期確實朝著解決這些悖論和格蘭迪級數的謎團邁出了重要一步。從微積分的基礎中，出現了關於無窮級數何時求和為有限值的明確定義。找到答案首先要看部分和——將前兩項相加，然後將前三項相加，然後將前四項相加，依此類推。如果這些中間和繼續越來越接近一個固定值，那麼我們就說該級數“收斂”到該值。讓我們將此應用於芝諾悖論中的級數，該級數將路徑的一半加上路徑的四分之一加上路徑的八分之一，依此類推。
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16
前兩項的和為 0.75，前三項的和為 0.875，前四項的和為 0.9375。如果我們對前 10 項求和，我們將得到 0.9990234375。部分和越來越接近 1，因此級數收斂於 1。雖然我們可以將路徑視為無限多個距離，但微積分證實它最終仍然等於一條路徑。
格蘭迪級數的部分和在 0 和 1 之間振盪，永遠不會趨近於一個單一值。因此，現代數學家會選擇選項 D（格蘭迪級數不求和為任何值）。
格蘭迪級數的解決引發了一個社會學問題。為什麼數學界接受部分和方法，而不接受萊布尼茨的機率論證或其他一些無窮級數求和的規定？雖然它們看起來和聞起來可能都一樣，但無窮級數求和與加法不同。加法在移動括號時不會改變——例如，1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3——但許多級數，包括格蘭迪級數，會改變。為了方便起見，數學家借用“求和”和“等於”等詞語來討論級數，但在幕後，當他們說芝諾級數“求和為 1”或“等於 1”時，他們真正的意思是部分和收斂於 1，僅此而已。
收斂的部分和定義並非任意。數學界出於充分的理由更喜歡它而不是其他替代方案。它減輕了困擾早期研究無窮和的數學家的許多悖論，並保留了有限加法所享有的許多良好性質。但是，收斂的其他定義也很有用。例如，Cesàro 求和方法不是詢問部分和接近哪個數字，而是取前兩個部分和的平均值，然後取前三個部分和的平均值，然後取前四個部分和的平均值，依此類推，並詢問這些平均值接近什麼。如果您將這種調整後的方法應用於像芝諾級數這樣的收斂級數，它總是會給您相同的答案。但是，當應用於在標準定義下不收斂的級數時，有時會給出不同的答案。特別是，格蘭迪級數的 Cesàro 和為 ½。
數學文獻中出現了許多其他求和方法。實際上，我們無法物理地新增無限多的東西，因此求和方法只是提供了為無窮級數賦值的有原則的方法。部分和定義理所當然地成為預設狀態，但偶爾有其他選擇也會有所幫助。
奇怪的是，在大多數替代方法下，格蘭迪級數的和都為 ½。因此，對我們開頭問題的一種通俗回答可能是：格蘭迪級數不求和為任何值，但如果它求和，它將求和為 ½。