對於數論學家來說，2012年就像坐過山車一樣。日本京都大學的著名數學家望月新一 發表了 abc 猜想的證明，這是該領域最重要的未解難題之一。但很快，幻滅感就來臨了：望月新一花費了20年時間，單槍匹馬地開發了多達500頁的全新形式體系，其他專家需要解讀。在過去的十年裡，這些專家一直在對他的證明咬牙切齒。即使是多次會議也無法澄清 abc 猜想的狀態。為了改變這種狀況，日本媒體和電信公司 DWANGO 的創始人川上量生 已懸賞高達 100 萬美元 的獎金，獎勵給第一個撰寫論文指出望月新一證明中固有缺陷的人。
乍一看，abc 猜想似乎無害。它涉及兩個自然數 a 和 b，以及它們的和 a + b = c。正如數論中常見的，該猜想涉及能整除給定數的素數——數學家稱之為素因子。任何數字都可以表示為素數的乘積——例如，15 = 3 x 5 或 324 = 22 x 34。後者是“豐富”數的一個例子，因為它有許多相等的素因子（2 出現兩次，3 出現四次）。這樣的豐富數很少見。更罕見的是，兩個豐富數的和再次是豐富的。這種不尋常的現象正是數學家 Joseph Oesterlé 和 David Masser 在 1985 年提出的 abc 猜想的全部內容。該猜想給出了一種衡量兩個數的和可以有多“豐富”的度量。關於這個猜想的特別之處在於，它結合了自然數的加法和乘法性質。
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因為方程 a + b = c 非常簡單，所以許多其他問題都與之相關。例如，費馬最後定理處理 an + bn = cn 形式的解，已經困擾專家 350 多年。在 20 世紀 90 年代中期，數學家 安德魯·懷爾斯證明了 如果 n > 2，則這個簡單的方程對於 a、b 或 c 沒有整數解。但是，如果 abc 猜想為真，費馬定理就更容易解釋了。該猜想還將解決數論中的一些未決問題，並可能成為該領域的重要工具——特別是當與橢圓曲線的概念結合使用時。
500 頁證明中的錯誤？
因此，毫不奇怪，在望月新一富有前景的工作發表後，許多數論學家蜂擁而至。這位日本數學家已經取得了顯著的成就。但他的“洲際 Teichmüller 理論”（IUT）本應證實 abc 猜想，卻充滿了成頁累牘的定義和定理，其證明通常只是簡單地寫道：“證明源於定義。”這種不尋常的風格持續了總共約 500 頁，這些頁基於望月新一過去工作的另外 500 頁。而且這位數學家並沒有為他的同事們提供任何便利：他拒絕在國外展示他的成果，因此關於這個主題的幾次會議都是在他缺席的情況下舉行的。
2018 年，當數學家彼得·舒爾茨和他的同事雅各布·斯蒂克斯 發表了論文《為什麼 ABC 仍然是一個猜想》 時，事情終於到了緊要關頭。在論文中，他們聲稱在望月新一的證明中發現了一個“嚴重”的問題。舒爾茨和斯蒂克斯甚至前往日本與望月新一討論此事。但三位專家未能達成共識。對於斯蒂克斯和舒爾茨來說，證明中的歧義仍然存在，而望月新一則聲稱他的兩位同事將實際上不同的物件等同起來，因此得出了不正確的結論。
2021 年，當望月新一的證明以 修訂形式 出現在期刊《Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences》上時，進一步的爭議出現了，望月新一本人是該期刊的主編。此舉本身並不罕見：數學家經常在他們擔任編輯的期刊上發表他們的作品。重要的是，這些學者 不參與 自己作品的同行評審。然而，舒爾茨堅持認為，在他看來，證據 仍然不完整。
百萬美元的激勵
因此，儘管望月新一最近發表了論文，但大多數數論學家都無法理解這個證明。儘管望月新一享有盛譽，但該領域的共識表明，他的論證 並不能證明 abc 猜想，這意味著 a + b = c 的難題 仍然懸而未決。*
為了消除這種不確定性，DWANGO 的創始人川上量生現在採取了一項舉措。雖然他本人不是數學家，但他認為 IUT 理論對該領域做出了重要貢獻，《新科學家》最近報道。2023 年 6 月，川上量生宣佈計劃在未來十年內，每年向一篇在望月新一的 IUT 理論方面取得重大進展的論文獎勵 2 萬至 10 萬美元。該論文將由 IUT 理論專家組選出，首次頒發計劃於 2024 年進行。
另一方面，如果有人在該理論中發現嚴重缺陷，那個人將獲得 100 萬美元。川上量生將親自決定哪篇經過同行評審的出版物將獲得該獎項。他提供這筆獎金是為了激勵更多人從事該領域的研究，他在最近的新聞釋出會上解釋說。《新科學家》報道，數學家加藤文元估計，世界上精通 IUT 理論的人不到 10 人。因此，川上量生的努力是否會結出果實，以及 abc 猜想是否會被解決，仍有待觀察。
本文最初發表於Spektrum der Wissenschaft，經許可轉載。
*編者注（2023 年 7 月 31 日）：本段在釋出後經過編輯，以澄清雖然有人支援望月新一提出的 abc 猜想證明，但大多數數論學家認為該猜想仍未被證明。