編者注：七月雜誌中提到的線上謎題可以在此處找到。
數百萬人都曾被魔方這個迷人的謎題所困擾，它在 1980 年代風靡全球。如果您不知何故錯過了這個謎題——或者 1980 年代——這個魔方是一個塑膠小玩意，看起來由 27 個小立方體或“小方塊”堆疊成一個更大的立方體，每條邊有三個小方塊組成。大立方體的六個正方形面中的每一個都塗有一種醒目的顏色——通常是藍色、綠色、橙色、紅色、黃色或白色。我們說這個立方體看起來像是小方塊的堆疊，但這裡的外觀具有欺騙性。一個巧妙的機制，由匈牙利教師埃爾諾·魯比克於 1974 年發明（並由日本工程師石毛輝壽於 1976 年獨立發明），使大立方體的六個正方形面中的任何一個都可以繞該面的中心扭轉。將各個面隨意扭轉五六次，您就會得到一個被打亂的魔方，只有專家——魔方大師——才能恢復秩序。這個謎題的目標是將任意打亂的魔方恢復到原始狀態，每個面都是一種純色，從而“解決”魔方。
魔方、魯比克多面體以及魔方問世後出現的許多仿製品被稱為置換謎題，因為它們基於重新排列或置換謎題碎片（在魔方的情況下為小方塊）的移動。每種情況下的目標都是將碎片的一些打亂排列恢復到某種預定的順序，通常是它們的初始“原始”配置。置換謎題與稱為置換群的數學實體密切相關，置換群是導致謎題中物件的不同排列的所有允許移動序列的集合。
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在數學中，群可以理解為普通算術的推廣。正整數和負整數 0、±1、±2 等，以及將它們組合起來的加法運算，構成一個群。但是，群也可以由許多其他型別的實體組成——物理物件的旋轉和反射、可以應用於字母或事物集合的各種排列、稱為方陣的數字分組等等——只要群包括某種運算來組合實體，使得組合後的實體也是群的成員。
除了在純數學中的興趣之外，群論在學科之外也有強大的應用，例如晶體學、基本粒子物理學、弦理論甚至電信。因此，對於學生和在職科學家來說，熟悉群的行為方式可能既具有挑戰性，又具有重要的科學意義。找出解決魔方的方法已被證明是人們感受某些型別的抽象群如何組合的一種絕佳方式。
但是，一旦人們掌握了魔方的技巧，他們通常會發現他們的解決方案策略對於解決它啟發的所有幾乎所有山寨置換謎題同樣有效。坦率地說，在那時，這種置換謎題開始失去其刺激性。至少那是我們對魔方的體驗。但我們也知道，我們的失望是有充分的數學原因的。所有類似魔方的謎題都代表了某種一般型別的群，因此它們都屈服於相同的一般型別的攻擊。然而，這些群絕不窮盡群概念的數學多樣性。
出於教育目的，我們想要的是一種有趣的方式來培養人們對與魔方所代表的群完全不同的群的直覺。而作為謎題愛好者，我們想要的是一套新的謎題，其解決方案需要與魔方及其親屬的解決方案策略截然不同。因此，我們進行了自然的聯絡：我們能夠開發出三個基於稱為散在單群的群的新謎題，這些群的性質既非凡又不為人所知，除非是專家。令人高興的是，我們同事的經驗表明，任何能夠學會解魔方的人都可以透過玩我們的謎題來獲得對這些散在單群的同等程度的理解。但更重要的是，這些謎題具有挑戰性，因為它們不屈服於適用於魔方的方法——而且我們認為它們非常有趣。想要立即上手的讀者可以下載它們。
謎題及其群
要解決新謎題，瞭解構成新謎題的散在單群，以及它們與魔方所代表的群：“魔方群”的不同之處，是很有用的。群的大小可以是無限的或有限的。我們前面提到的整數的加法群顯然有無限多個成員。但是魔方群中元素的數量是有限的，即使魔方的所有允許移動序列的集合是無限的。原因是，如果兩個移動序列從相同的小方塊起始排列導致相同的終點，則這兩個序列被認為是等效的。在魔方中，小方塊的不同配置的數量是天文數字——大約 4 X 1019，或 43,252,003,274,489,856,000，準確地說——因此，元素或魔方群中表示的不同移動組合的數量是巨大的但有限的。
儘管移動的“空間”如此廣闊，但透過遵循一些一般提示來設計魔方的解決方案並不難。您需要一支鉛筆、紙和一個魔方，最好是未打亂的。您的目標是雙重的：首先，您需要一種方便的方式來記錄您的移動。其次，您想要發現各種短的移動序列，您可以將其寫下來以完成特定任務：例如，交換某些對的角小方塊或稜小方塊。這個想法是將這些序列系統地組合起來以解決被打亂的魔方。
事實證明，這種系統的方法，從試錯開始，幾乎總是會產生有用的序列，這些序列為您提供了足夠的靈活性來解決魔方。粗略地說，原因是魔方群的基本代數成分是所謂的對稱群，對稱群是給定數量物件的所有可能排列的群，以及它們的近親交錯群，每個交錯群包含相應對稱群元素的一半。因此，對稱群S3包含所有 3! (1 X 2 X 3) 或六個，三個物件的可能排列；它的親屬，交錯群A3，有三個元素。與魔方群相關的對稱群包括對稱群S8（八個角小方塊可以重新排列的所有 8! 或 40,320 種方式）和對稱群S12（12 個稜小方塊可以重新排列的所有 12! 或 479,001,600 種方式）。
“對稱”的“原子”
我們的謎題也是置換謎題，但它們中的每一個都基於所謂的散在 單群。要理解什麼是散在單群，首先要理解子群的概念。假設您只允許扭轉魔方的藍色和黃色面。在這種限制下，您將永遠無法移動綠色和白色的側小方塊。因此，受限移動的不同序列的數量小於整個魔方群中元素的數量。超過這一點，單群的概念在某種程度上是技術性的；只需說單群是一個不包含“真、正規”子群的群就足夠了。
“單群”這個術語在群論中的應用可能是數學史上最大的誤稱之一。事實證明，單群包括數學家已知的最複雜的實體中的一些。然而，它們之所以簡單，是因為它們是群論的構建塊或“原子”。在某種程度上，單群也畫素數，素數是僅能被自身和 1 整除的數字（2、3、5、7、11 等）。每個有限群都可以唯一地“分解”為單群，就像任何整數都可以分解為素數一樣。
所有有限單群都已被識別和分類。它們是在 1860 年代至 1980 年間發現的，分類主要是在 1940 年代後期至 1980 年代初期完成的（最近進行了一些更正），涉及數百位數學家的工作。關於單群發現和最終列表完整的證明的報告在專業數學期刊中消耗了超過 10,000 頁，分佈在約 500 篇文章中。數學家仍在研究該證明的更簡單版本，這可以澄清他們對單群的理解。但是，已經掌握的證明表明，存在 18 個有限單群族——每個族都是特定型別群的無限集合——以及 26 個所謂的散在群，它們是怪異的，本質上是自身的數學實體。沒有其他的了。
散在單群謎題
我們構建了基於三個散在單群的謎題，它們被稱為M12、M24和Co1。這些謎題，就像魔方一樣，是置換謎題，但是表示散在單群的置換對於允許的置換的限制比對稱群更嚴格。因此，在我們的謎題中，無論進行多少次移動，許多數字排列都是無法訪問的。
正如我們前面提到的，適用於解決魔方和其他基於對稱群的謎題的策略不適用於我們的新謎題。但是，可以從關於群的少量提示中開發出其他策略。
我們的三個謎題中最簡單的是M12，它基於同名的散在單群。M12群是最早發現的五個散在單群之一；這五個群都是在 1860 年代由法國數學家埃米爾·馬蒂厄發現的，並被稱為馬蒂厄群。有抱負的謎題解決者會面對一個特別打亂的數字 1 到 12 的序列，排列成一行。只允許兩種移動，但它們可以在任何序列中應用任意次數。謎題的目標是將打亂的排列恢復為普通的數字順序 (1, 2, 3, ..., 12)。
我們將給大膽接受我們挑戰的讀者一個提示。在謎題中（以及在群M12中），可以將任意五個數字移動到該行 12 個位置中的任意五個位置。一旦完成，所有剩餘的數字都會就位；謎題就解決了。原因是群M12有 12 X 11 X 10 X 9 X 8，或 95,040 個排列，這恰好是選擇 12 個數字中的任意五個並將它們中的每一個放置在序列中某個位置的方式的數量。（第一個數字可以佔據 12 個位置中的任何一個，第二個數字可以佔據剩餘 11 個位置中的任何一個，依此類推。）透過固定五個數字的位置來指定整個排列這一事實意味著，搜尋僅移動少量數字的移動序列是毫無意義的。除了所謂的虛擬或空移動（它使任何排列保持原樣）之外，每個移動都必須使少於五個數字固定。換句話說，每個非平凡的移動序列都必須至少位移 12 個數字中的八個。
不適合膽小者的謎題
我們的第二個謎題M24包括 23 個數字排列在一個圓圈中，就像在鐘面上一樣，第 24 個數字放置在圓圈外 12 點鐘位置。與M12謎題一樣，只允許兩種移動。原則上，M24謎題可以用真實部件製造，而不僅僅是用計算機表示：23 個數字的圓圈可以透過旋轉裝置移動，齒輪系統可以按照移動的指示交換數字對。
由M24的兩次移動生成的置換群是馬蒂厄群M24。與M12一樣，M24是“五重傳遞的”：透過兩次移動的某種組合，可以操縱排列，直到 24 個數字中的任意五個數字被放置在 24 個位置中的任意五個位置。由於五重傳遞性，我們解決M12謎題的提示也有助於解決M24：設計移動，使數字 1 到 5 返回到它們正確的位置，而不會干擾已經到位的數字。但是這次解謎者並沒有完全完成。群M24有 24 X 23 X 22 X 21 X 20 X 48，或 244,823,040 個元素；因此，即使在數字 1 到 5 返回到它們正確的位置後，其他 19 個數字仍然可以以 48 種不同的方式分佈在圓圈周圍。
我們的最後一個謎題 Dotto 代表了康威群Co0，由普林斯頓大學數學家約翰·H·康威於 1968 年發表。Co0包含散在單群Co1，其成員數量恰好是Co1的兩倍。康威過於謙虛，沒有以自己的名字命名Co0，因此他將該群表示為“.0”（因此發音為“dotto”）。
我們將不得不將 Dotto 謎題的細節留給我們的線上討論。但我們可以指出，該謎題及其基礎群都具有引人入勝的數學特性。該謎題與蛭格網格密切相關，蛭格網格是 24 維空間中的一組“點”或有序數字列表。眾所周知，在透過將 24 維“球體”以網格點為中心構建的 24 維空間中的所有球體堆積中，基於蛭格網格的球體堆積是最緊密的。
關於嬰兒和怪物
只有四個散在單群的大小超過 Co1：揚科群J4、費舍爾群Fi24、嬰兒怪物B和怪物M。顧名思義，怪物是其中最大的，擁有約 8 X 1053 個元素。它是由密歇根大學安娜堡分校的羅伯特·L·格里斯於 1980 年構建的，作為 196,884 維空間中某個複雜數學結構的變換群。
我們尚未嘗試基於任何其他散在單群構建謎題——儘管某些肯定有可能。但是，設計任何基於怪物的可行謎題將是一項嚴肅的數學事業。原因是尚不清楚怪物是否是任何足夠小以至於可以視覺化的物件的置換群，儘管根據一種猜想，它是某個 24 維彎曲空間的置換群。“怪物謎題”的成功設計可能會使數學家更接近證明這個誘人的猜想。
注意：這篇文章最初的標題是“玩轉單群”。
