我仍然清楚地記得14年前的那一天，一個名叫麗莎的高個子、非常害羞的六年級學生坐在我家廚房的桌子旁，上了她的第一堂數學課。麗莎的校長推薦她參加我與幾個朋友在我公寓裡開始的免費課後輔導計劃。雖然我向校長要求推薦數學有困難的學生，但我並沒有為麗莎做好準備。
我計劃透過教麗莎加分數來增強她的自信心。作為一名輔導老師，我從之前的經驗中瞭解到，孩子們在第一次接觸分數時常常會對數學產生焦慮。因為我的課程涉及乘法，所以我問麗莎她是否記不住任何乘法表，但她茫然地看著我。她不知道乘法是什麼意思。甚至以一以外的數字計數的概念對她來說也很陌生。我的問題讓她感到害怕，當我提到最簡單的概念時，她不停地說：“我不明白。”
我不知道該如何幫助麗莎，所以我決定看看她是否可以學會按二計數，以便她最終可以乘以二。為了減輕她的恐懼，我告訴她，我確信她足夠聰明，可以學會乘法。我擔心我可能是在給她虛假的讚揚，但我的鼓勵似乎幫助她集中注意力，她取得的進步比我預期的要大。
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我每週為麗莎輔導一次，持續了三年。在九年級時，她從數學補習班轉了出來，在第二個學期，她跳了一級，進入了十年級數學班。她能夠在測試中獨立解決文字題和進行復雜的運算，而且我曾多次看到她自學教科書中的內容。她十年級數學的期末成績是C+，但她提前了一年。她只用了100個小時的課程就從一年級升到了九年級，這比她在學校一年內接受的課程還要少。如果我有更多的時間來輔導她，她本可以做得更好。
在與麗莎和其他我輔導的學生一起工作的過程中，我確信孩子們學習數學的潛力遠遠超過他們在學校通常表現出來的水平。我將我的輔導計劃註冊為慈善機構，名為JUMP（少年未被發現的數學神童）數學，並開始了長達十年的探索之旅，以確定孩子們真正的數學能力，以及為什麼這麼多人覺得這門學科難以學習。JUMP數學現在是一個課堂課程，在加拿大有超過10萬名中小學生使用。在美國，一些學區正在測試與共同核心州立標準對齊的JUMP版本。
根據我作為輔導老師，然後作為數百個課堂的志願者的經驗，我總結出了一些原則，這些原則構成了JUMP的基礎，並得到了教育心理學和認知科學研究的支援。這些原則包括提供大量練習，給學生即時反饋，教授通用的數學問題解決策略，以及透過將問題分解為小的、可管理的步驟來幫助學生髮現新概念。
令人驚訝的是，這些原則不僅適用於一對一的課程，也適用於整個班級。例如，在2011年兒童發展研究學會上發表的一項隨機對照研究中，多倫多病童醫院和多倫多大學的認知科學家特蕾西·所羅門和羅斯瑪麗·坦諾克發現，在18個使用JUMP的教室中，學生在多項標準化數學測試中表現出的進步速度是另外11個接受標準教學的教室的兩倍。在英格蘭市中心學校進行的大型多年試點專案，以及許多其他軼事報告也表明，JUMP數學將學生的數學水平提高到比大多數標準方法更高的水平，同時顯著縮小了較弱學生和較強學生之間的差距。
小發現
我相信，許多孩子在數學以及其他學科中遇到困難的根本原因是對自然學術等級制度的信念。早在幼兒園，孩子們就開始將自己與同齡人進行比較，並將一些人識別為在各個學科中“有天賦”或“聰明”。一個認為自己沒有天賦的孩子通常會停止注意力集中或努力學好。這個問題在數學中比在其他學科中更有可能迅速加劇，因為當你在數學中錯過一個步驟時，通常不可能理解接下來發生的事情。孩子失敗的次數越多，她對自己能力的負面看法就越會得到加強，孩子學習的效率也就越低。
這種對等級制度的信念導致孩子在數學方面的成功差異大於實際能力差距。良好的教學可以打破數學中的等級制度，這意味著孩子目前的成績水平不一定決定她在數學方面的長期成功。
在過去的15年中，北美大多數學校都採用了一些發現式或探究式數學課程，在這些課程中，學生應該自己弄清楚概念，而不是被明確地教導。基於發現的課程往往較少關注可以透過遵循一般規則、程式或公式（例如“找到一個長五米、寬四米的矩形的周長”）來解決的問題，而更多關注基於現實世界示例的複雜問題，這些問題可以用多種方式解決，並且有多個解決方案（“使用六塊正方形瓷磚，製作一個周長最小的庭院模型”）。學生不是記憶事實和學習標準演算法（如長除法），而是主要透過探索概念和開發自己的計算方法來學習數學，主要是透過使用具體材料的動手活動。
雖然我同意發現式教學法的許多目標和方法，但越來越多的研究表明，它的一些要素存在明顯的缺點。例如，為了使數學更相關或更吸引人，教師通常會選擇插圖密集或涉及使用具有吸引力特徵的具體材料的教科書，但這些細節實際上會阻礙學習。例如，在2013年，俄亥俄州立大學的心理學家康斯坦斯·卡明斯基和弗拉基米爾·斯洛茨基教兩組小學生閱讀條形圖，使用了兩種不同型別的圖表：一種有堆疊的鞋子或鮮花的圖片，另一種更抽象的圖表有實心條。當圖表的比例改變以反映物體數量的倍數時，使用條形圖學習的學生更擅長閱讀圖表。使用圖片教學的學生往往會因數物體而分心，因此沒有看圖表上的比例。
數學教學方法不僅應避免用無關材料分散學生的注意力，還應避免一次性給學生提供過多的資訊。發現式教學法可能會給工作記憶帶來巨大的負擔，工作記憶是我們解決數學問題時大量使用的臨時心理草稿紙。人類的工作記憶非常有限。平均而言，它一次可以容納大約七個數字的等量資訊，如果問題需要大量新知識，複雜問題的需求很容易超過這個限制。
根據荷蘭開放大學心理學家保羅·基爾希納及其同事在2006年發表的一篇文章，由於這種沉重的認知負荷，基於純粹發現的課程效果不如教師透過提供反饋、演示示例和提供其他指導來幫助學生駕馭問題複雜性的課程。關鍵是學生要有剩餘的心理容量來進行推斷、整合知識和重組資訊。“過去半個世紀收集的經驗證據始終表明，最少指導的教學不如那些強烈強調學習過程指導的教學方法有效和高效，”基爾希納及其合著者寫道。在2011年對164項基於發現的學習研究進行的薈萃分析（定量回顧）中，紐約市立大學心理學家路易斯·阿爾菲耶裡及其同事得出結論：“無輔助的發現對學習者沒有益處，而反饋、工作示例、支架和引出的解釋確實有益處。”
微探究
考慮到這些資料，我們在設計JUMP時加入了額外的例子、活動和練習等支援。基於一種稱為引導發現或微探究的方法，JUMP課程要求學生在教師的指導下推匯出概念並解決問題，以便幾乎所有學生都能成功。更重要的是，教師的指導與某些極大地幫助數學學習的原則密切相關。
其中之一是支架式教學，這意味著將學習分解為若干部分，並提供相關的例子和練習，以幫助學生攻克每個部分。在支架式課程中，概念以邏輯順序引入，一個想法自然而然地引出下一個想法。例如，如果你問六年級學生這個問題：“如果一個城鎮的女孩與男孩的比例是4比5，那麼女孩佔幾分之幾？”許多人會回答五分之四，或80%。正確的答案是九分之四，這需要理解分母必須代表所有孩子，而不僅僅是男孩。
在關於比率和百分比的支架式JUMP課程中，第一個問題要求學生在諸如“有3個女孩和10個孩子”和“有6個男孩和5個女孩”之類的陳述後，寫下班級中女孩、男孩和孩子的數量。下一個問題要求做同樣的事情，但學生還必須寫下女孩和男孩的比例。稍後，當學生在各種問題中找到女孩或男孩的比例時，他們必須說他們給出的是部分和整體，兩個部分，還是“錯誤”的部分和整體。這一系列任務阻止學生透過簡單地將一個數字放在另一個數字之上而不考慮數字的含義來形成分數。透過這種方法，可以透過一系列小步驟來教授甚至最大的想法。
此類課程旨在預測潛在的混淆或知識 gaps。再舉一個不同的例子，如果五年級學生被要求在方格紙上畫出所有可能的邊長為整數且周長為12釐米的矩形，許多人會從畫出下圖所示的圖形開始。
在第一種情況下，學生將周長與面積混淆了；在第二種情況下，孩子在完成矩形之前用完了分配的周長。為了讓學生為繪畫練習做好準備，老師可以畫出矩形的一條邊，並給學生時間練習完成繪畫，直到他們理解周長是如何環繞圖形的。老師還可以討論一個生成所有答案的系統——例如，從寬度為1的矩形開始，然後是寬度為2的矩形，依此類推。
儘管試圖防止此類混淆，學生仍然會犯很多錯誤，那些重複錯誤的學生會開始懷疑自己的能力，並對數學能否讓他們理解失去希望。出於這個原因，JUMP數學課程計劃指示教師提供即時反饋和持續評估。在每個JUMP課程中，課程包含一系列問題、練習和挑戰，老師會選擇性地批改和討論學生完成的作業，以便在學生繼續前進之前發現並糾正錯誤和誤解，而不是在一週後進行測試，那時可能為時已晚，無法幫助那些落後的學生。
JUMP的另一個基本要素是為孩子們提供解決數學問題的通用工具。許多成年人都在努力解決以下基本問題：“一個人排在第5152位，另一個人排在第2238位。他們之間有多少人？”大多數人會透過減法來找到答案，但如果你問他們如何知道自己的答案是正確的，他們通常無法說出來。我知道這種方法會給出錯誤的答案，但這並不是因為我生來就具有看穿它的能力。作為一名數學家，我學習瞭解決問題的基本策略，包括這個策略：建立一個更簡單的問題版本並解決它。在這種情況下，我會想象五個人排隊，並問排在第四位的人和排在第二位的人之間有多少人。顯然，一個人。從那個更簡單的場景中，我立即發現減去位置會得到一個高出一個的答案。
熟能生巧……
我曾經輔導過一個患有嚴重注意力缺陷障礙的學生，他在四年級時還沒有學會任何乘法口訣。我告訴他我要給他一個挑戰：我會教他如何在腦海中將大數加倍。我寫了
我用手遮住了數字的百萬部分以外的所有部分，並讓他讀出他能看到的內容。他說，“兩百三十四”，然後說“百萬”。我縮回手，露出千位部分，他說，“一百二十二千”。當我露出數字的其餘部分時，他說，“一百四十一”。正如我所希望的那樣，這個男孩對讀出這個巨大的數字感到興奮，並要求讀更多的數字。然而，我真正的目標是激勵他進行乘法運算。所以我列出了二倍表的前四個條目，並向他展示瞭如何透過將每個數字加倍並將結果寫在數字下來將一個大數加倍。當他高興地將數字加倍時，這個男孩記住了這個列表，很快就不再需要它了。他在幾分鐘內練習並學會了二倍表的一部分，而他自己並沒有意識到。
雖然一些教育理論家透過稱之為“死記硬背”使練習看起來不必要或有害，但孩子們需要練習才能成為專家。因此，教育中真正的挑戰是使練習變得有趣。如果教師像我在大數字課程中所做的那樣，將學習變成一個具有不同級別和曲折的遊戲，學生們就會樂於長時間練習。
JUMP數學課程計劃還包括額外的“拓展”問題，使中小學教師能夠為所有學生提供大致相同的課程，而不會讓較強的學生感到無聊或拖他們的後腿。通常，教師會嘗試透過給較快的學生提出引入新概念、技能和詞彙的問題來挑戰他們。因此，學生需要老師的幫助，從而剝奪了班級其他學生的老師注意力。在JUMP課程中，教師會佈置一組難度逐漸增加的獎勵問題，孩子們可以自己完成這些問題，因為它們不會引入新的技能或概念。然而，他們感覺自己正在克服一系列有趣的挑戰，類似於在影片遊戲中發生的情況。例如，如果老師要求四年級學生說出序列“63、67、71、75……”的規則，那麼對於那些答案顯而易見的學生，可以給他們獎勵問題，例如“這個序列中有一個錯誤；你能糾正錯誤嗎？”（學生們喜歡這個。）或者“找出序列 3、_、_、18……中缺失的數字”或者“說出序列 1、4、7、10……中小於 100 的奇數有多少個。”
這些問題有助於更高階的學生更深入地理解課程。此外，當最初較慢的年輕人看到他們可以應付這項工作時，他們會加快速度，以便他們也可以獲得獎勵問題。事實上，忠實地遵循JUMP課程計劃的教師可以顯著縮小較弱學生和較強學生之間的差距。
例如，在2007年秋季，多倫多梅賓學校的五年級教師瑪麗·簡·莫羅給她的學生進行了一項名為數學能力測試的標準化評估。班級平均成績為54%，分數範圍很廣，其中包括一名學生的成績僅為9%。五分之一的學生被認定為有學習障礙。然後，莫羅放棄了她通常的做法，這意味著將她能找到的最佳材料組合成課程，並遵循JUMP課程計劃。經過一年的JUMP課程，班級平均成績上升到98%，最低分數為95%。經過兩年的JUMP課程，她的18名學生中有17人報名參加了畢達哥拉斯數學競賽，這是一項針對六年級學生的著名競賽，其中14人獲得了傑出獎（另外三人緊隨其後）。
這個案例並非孤立。2006年，蘭貝斯（英格蘭最貧困的行政區之一）的數學顧問尼基·阿杜巴招募教師在六年級開始時對159名低於年級水平一年的學生使用JUMP。幾乎所有學生都有學習障礙或行為問題，很少有人有望透過全國數學考試。一年後，其中69%的人在數學方面進步了大約兩年，60%的人通過了考試。阿杜巴報告說，連續四年對數百名不同年級的學生都取得了類似的結果。在另一個案例中，不列顛哥倫比亞省北部的穆海姆小學多年來在省數學考試中一直排在學區倒數10%。自從校長五年前引入JUMP數學以來，該學校一直保持在前 10%的行列。
增強自信心
JUMP中使用的基本學習策略都不是激進的，甚至在教育界也不是新的。但是JUMP嚴格地應用了這些策略，密切關注步驟的順序和大小、提供的複習量以及提問方法等細節。如果說JUMP有什麼新意，那就是指導其發展的假設，包括幾乎所有學生都可以在數學方面取得比學校要求的更高的成就的觀點。JUMP認為，相信自己能力的孩子可以像享受藝術或運動一樣享受做數學的樂趣。克服挑戰和鍛鍊思維是很有趣的，發現或理解美麗、有用或新穎的事物也可能是令人興奮的。
學生透過在數學方面取得成功而獲得的自信心可能會對他們生活的其他方面產生影響。因為數學應該很難，所以當孩子們認為自己有能力學習數學時，他們往往會認為自己可以學習任何東西。在蘭貝斯，一位老師報告說，有行為問題的學生會訓斥在數學課上行為不端的其他學生，因為他們非常投入到課程中。另一位老師寫道，她的學生已經變得“大膽、獨立的解決問題者”。我曾經教蘭貝斯的11歲兒童閱讀二進位制程式碼，即代表計算機數字的0和1字串。學生們似乎認為自己是小小的密碼破譯者，並要求更長的程式碼。在我去學校的第三天，當老師和我走進教室時，孩子們歡呼起來。
孩子們喜歡解謎、看圖案和建立聯絡。他們的好奇心只會因失敗而減弱。在過去的十年中，認知科學家和教育家已經開始揭示我們大腦最佳學習方式的機制，並且他們已經收集了證據，證明絕大多數學生可以在數學等學科中脫穎而出並熱愛學習。我們這個時代最重要的一個問題是，我們是否會根據這些證據，按照孩子們的非凡潛力來教育他們。