數學、音樂與想象力

本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點

像大多數紐約人一樣，我傾向於工作到很晚。我通常的晚上是在午夜過後不久離開舞臺，然後準備一些數論或組合學問題，直到凌晨三四點左右。我是一位爵士音樂家和數學家。我的技能使我能夠透過數學結構和創造性問題解決的語言來解釋音樂體驗。

我的實踐包括在旋律、節奏和和聲中使用數學轉換的思想。我的作品是使用聲音訊率之間的關係開發的。但是，對我來說，數學和音樂是同一件事的觀點既非常詩意，又過於簡化而無用。但我仍然相信，這兩個學科透過創造力和想象力在兩者中所扮演的角色，有著驚人的相似之處而聯絡在一起。

我從九歲開始學習音樂，在青少年時期一直從事音樂工作，但聽取了我的音樂導師的建議，他們鼓勵我更多地瞭解世界，所以我選擇上大學而不是音樂學院。在學校裡，我因為數學家構建的優雅理論世界的魅力而愛上了數學。然而，畢業後，我決定在舞臺上度過我的二十多歲，而不是在研究生院的圖書館裡。儘管如此，每當我不環遊世界演出時，我都會繼續閱讀數學教材，以及輔導高中生和大學生。

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數學在音樂中的應用非常廣泛。你可以發現數學在現代和聲和對位、節奏的發展以及編曲的比例中都有應用。我希望進一步探索的是，做數學和音樂的主觀體驗之間的共同點。儘管數學家和音樂家的生活方式可能看起來截然不同，但至少對我而言，它們背後的“思考工作”比你想象的更密切相關：參與數學和音樂的魔力從根本上改變了你想象和創造的方式。

大部分“思考工作”可以概括為首先在感官上（也許在白板上或樂器上）創造一個想法的表示，然後想象它以創造性和有用的方式進行轉換。因此，發展表示形式是一種自我發現的形式，而轉換它則是一種玩耍。你能發現這裡要做的推論嗎？它深刻地影響了我的生活，我希望看到它在我們的文化中更加普及。

數學可以像音樂一樣被體驗為玩耍。

讓我解釋一下。要即興創作或作曲，必須學習樂器的技巧以及音樂的和聲和節奏語言。一直以來，樂趣在於想象和試驗已經融入的技術和語言成分，以便喚起一種感覺、表達一種情感或講述一個故事。隨著對樂器和基礎語言的掌握不斷擴充套件，大腦對不同想法變得更加敏感，而身體在將這些想法付諸實踐方面變得更加勝任。因此，這個過程自然地從創造性的吸收擴充套件到轉換，最終到執行。

數學的工作方式與之類似。學生必須熟練掌握數字和其他符號、代數和微積分的各種規則來運算子號，以及一些函式。這是數學的語言；它的語法和技巧。數學問題可以被視為有結構的機遇，用來玩弄已知的東西，以便發現未知的東西。

透過這個過程，數學家開始發展對數學思想的本質及其邏輯相互關係的認識，從而對新思想變得敏感，同時更好地具備在內部操作它們的能力。如果認為數學只是透過死記硬背和機械的、不經思考的符號搬運來記憶的公式，那就可悲地錯失了重點。

與音樂一樣，每個人都以不同的方式將潛在的語言、語法和技巧融入到自己的感官中，從而形成自己獨特的理解，從而以自己獨特的方式表達思想。與社交功能失調的孤獨天才的刻板印象相反，數學家在他們的大部分工作中都是合作的，這在某種意義上使他們很像音樂家。透過圖片、文字和符號表達我們的內心世界，並與他人分享，借鑑彼此的想法，這就是現代數學的很大一部分完成方式。

如果世界以這種方式理解數學會怎樣？如果我們以玩弄數字以掌握算術的思想進行教育，就像即興音樂家被教導玩弄音符以學習音階一樣，會怎樣？如果我們尊重人們理解的獨特方式，並從那個角度進行教學，而不是死記硬背，會怎樣？如果我們改進人們的邏輯美學，使數學感覺更個性化、更藝術化，並且數學“美”、“優雅”或“風險”的深刻體驗不再為知識精英所保留，會怎樣？

數學作為自我發現，數學作為玩耍。這兩個想法乍一看可能很陌生，但我確信，這種正規化轉變正是擴大數學和許多其他人類學科中創造性問題解決者群體所需的——使他們能夠“即興演奏”世界上最嚴峻的挑戰。

馬庫斯·米勒是Math+Music的聯合創始人，也是其雙月刊“四藝系列”的主持人和表演者，目前在國家數學博物館舉辦。在 marcustheartyst.com 瞭解更多關於他的工作，並透過在 @marcustheartyst 和 @mathplusmusic 上關注他來保持更新。即將到來的四藝“對稱”活動（4月20日星期五）的門票可在 quadrivium.momath.org 購買。