本文發表於《大眾科學》的前部落格網路，反映了作者的觀點，不一定反映《大眾科學》的觀點
數學家貝努瓦·曼德布羅的去世在我心中引發了一股對 1980 年代的懷舊之情，那時曼德布羅和其他研究人員似乎正在創造一場科學革命。他們希望精巧的新數學技術，加上日益強大的計算機，能夠幫助他們理解各種複雜的非線性現象——從大腦和免疫系統到經濟和氣候——這些現象一直以來都難以用過去的還原論方法進行分析。
記者詹姆斯·格雷克在他的 1987 年暢銷書混沌：一門新興科學，曼德布羅中出色地描述了這項研究。曼德布羅是一位應用數學家，涉獵廣泛領域，是格雷克書中的英雄人物。從 1960 年代開始，曼德布羅意識到許多現實世界的現象——雲、雪花、海岸線、股市波動、腦組織——都具有相似的屬性。它們表現出“自相似性”，即在越來越小的尺度上重複出現的模式；並且它們具有模糊的邊界。
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曼德布羅發現他可以用他稱之為分形 (fractals) 的數學物件來模擬這些現象。這個名稱指的是一個稱為分數維 (fractional dimensionality) 的屬性：分形比線更模糊，但永遠無法完全填充一個平面。最著名的分形是曼德布羅集 (Mandelbrot set)，它透過重複求解一個簡單的數學函式並將答案代回其中而生成。
當由計算機繪製時，曼德布羅集會產生一個非常奇怪的物體，看起來像一個側翻的疣狀雪人。當您以越來越高的解析度觀察該物體時，您會看到雪人的邊界像火焰的邊界一樣模糊；這就是分數維的樣子。某些模式，例如疣狀雪人，在較小的尺度上不斷重複出現，並帶有細微的變化。
自 20 世紀初以來，其他數學家也探索過類似的現象。此外，在 1990 年，幾位數學家聲稱在曼德布羅之前就探索過曼德布羅集，我在《大眾科學》上的一篇文章“誰發現了曼德布羅集？”中報道了這一說法。在我打電話給他徵求意見後，曼德布羅聯絡了我的編輯，抗議該故事的發表，但我不為此責怪他。他顯然應該因引起其他研究人員對分形（包括曼德布羅集）的關注，並指出它們與許多自然現象的奇特相似之處而獲得讚譽。
最終，用分形來模擬物理世界嘗試的結果是什麼？或者《混沌》以及其他科學作家撰寫的許多續集中描述的所有其他流行的數學和計算方法呢？讓我提醒您一些來自那個令人興奮的時代的流行語：元胞自動機、人工生命、遺傳演算法、自組織臨界性。所有這些都被認為是用於建模，從而理解複雜現象的方法。所有這些方法都找到了應用，但沒有一種像擁護者所希望的那樣強大。
事實上，混沌理論及其後繼者，複雜性（實際上只是披著光鮮外衣的混沌），遵循了與之前的兩個科學運動相同的興衰週期：控制論和突變理論。控制論（cybernetics，一個由希臘詞 kubernetes，或舵手，創造的新詞）是由數學家諾伯特·維納構想出來的。在他的 1948 年著作《控制論：動物和機器中的控制與通訊》中，他宣稱控制論原則上可以模擬不僅機器的執行，還可以模擬所有生物現象，從單細胞生物到民族國家的經濟。
控制論變得非常流行，尤其是在俄羅斯，但到 1960 年代，它已經失去了光彩。1961 年，電氣工程師約翰·皮爾斯嘲諷說，控制論這個術語“在新聞界以及在流行的和半文學的，如果不是半文盲的雜誌中被最廣泛地使用。” （控制論當然以流行文化術語“賽博空間”的形式繼續存在，這個詞是由科幻作家威廉·吉布森創造的。）
下一個重要的思想是突變理論，法國數學家勒內·託姆聲稱，這是一組可以模擬表現出突發性“災難性”不連續性的現象的方程。託姆和他的追隨者認為，突變理論不僅可以幫助解釋地震等事件，還可以解釋生物和社會現象，例如生命的出現、毛毛蟲變成蝴蝶的變態以及文明的崩潰。
一位評論家將託姆 1972 年的著作《結構穩定性與形態發生學》與牛頓的《原理》相提並論，《原理》可以說是史上最重要的科學論著。到 1970 年代後期，批評家們抱怨託姆的作品“沒有提供關於任何事物的新資訊”，並且是“誇大其詞，並非完全誠實”。《自然》雜誌上的一篇文章稱突變理論是“許多試圖僅憑思考來推斷世界”的嘗試之一，這是一個“無法實現的夢想”。（《大眾科學》是自然出版集團的一部分。）
混沌理論遵循了相同的模式。1991 年，就在《混沌》出版四年後，大衛·魯埃爾，他和曼德布羅一樣是混沌系統數學建模的先驅，抱怨說，儘管混沌“經常傳來‘新’突破的勝利訊息，但有趣的發現的產出卻在下降。”
時不時地，總有一些雄心勃勃的人再次宣稱他創造了一種全能的數學理論。一個備受矚目的例子是物理學家和數學軟體巨頭斯蒂芬·沃爾夫勒姆，他宣稱他 2002 年自出版的書籍一種新科學將孕育，嗯，一種新科學。但是沃爾夫勒姆解決所有科學難題的“新”方法只是元胞自動機，這是約翰·馮·諾伊曼在 1950 年代發明的計算建模系統。
也許現在應該承認，沒有單一的數學或計算系統可以模擬所有的現實。以不謙虛而聞名的曼德布羅也暗示了這一點。“我最強調的是，我不認為分形觀點是萬能藥，”他在他 1977 年那本奇怪而精彩的著作《大自然的分形幾何學》中寫道。他指出，分形與自然現象的相似性並不一定能深入瞭解其潛在的物理機制。
但是，分形已被證明對金融建模、影像壓縮和其他應用很有用。曼德布羅絕對正確，計算機生成的分形影像揭示了“一個迄今為止未被懷疑的純粹的塑性美世界”。我仍然記得當我第一次看到曼德布羅集的彩色影像時所感受到的激動，它閃爍著無限的暗示。我將永遠感謝曼德布羅為此。
圖片來源：維基共享資源