以下文章經許可轉載自 The Conversation，這是一個報道最新研究的線上出版物。
假設你正在計劃你的下一個派對，並且為客人名單絞盡腦汁。你應該向誰傳送邀請函？朋友和陌生人的哪種組合才是合適的搭配？
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事實證明，數學家們已經研究這個問題的一個版本將近一個世紀了。根據你想要什麼，答案可能會很複雜。
我們的書《圖論的迷人世界》探討了這類謎題，並展示瞭如何透過圖論來解決它們。像這樣的問題可能看起來很小，但它漂亮地展示了圖論如何被用於解決科學、通訊和社會等不同領域的數學問題。
謎題的誕生
雖然眾所周知哈佛是美國頂尖的學術大學之一，但您可能會驚訝地得知，哈佛曾經擁有全國最好的橄欖球隊之一。但在 1931 年，在 全美四分衛巴里·伍德 的帶領下，情況確實如此。
那個賽季哈佛對陣陸軍。出乎意料的是，上半場結束後，陸軍以 13-0 領先哈佛。顯然感到沮喪，哈佛校長告訴陸軍學員指揮官，雖然陸軍在橄欖球方面可能比哈佛強，但哈佛在更學術的比賽中更勝一籌。
儘管哈佛隊後來以 14-13 擊敗了陸軍，但指揮官接受了在更學術的領域與哈佛競爭的挑戰。雙方同意在數學領域進行比賽。這導致陸軍和哈佛選拔了數學隊；對決於 1933 年在西點軍校進行。令哈佛驚訝的是，陸軍獲勝了。
哈佛-陸軍競賽最終促成了 1938 年為本科生舉辦的年度數學競賽，稱為 普特南考試，以哈佛校長威廉·洛厄爾·普特南的親屬命名。這項考試旨在激發美國和加拿大數學領域的良性競爭。多年來，直到今天，這項考試都包含許多有趣且通常具有挑戰性的問題——包括我們上面描述的問題。
紅色和藍色線條
1953 年的考試包含以下問題（略有改動）：平面上有六個點。每兩個點之間都用一條線連線，這條線要麼是藍色，要麼是紅色。證明在這六個點中，存在三個點，它們之間只繪製了相同顏色的線。
在數學中，如果存在一組點，並且某些點對之間繪製了線，則該結構稱為圖。對這些圖的研究稱為圖論。然而，在圖論中，點稱為頂點，線稱為邊。
圖可以用來表示各種各樣的情況。例如，在普特南問題中，一個點可以代表一個人，紅線可以表示這些人是朋友，藍線可以表示他們是陌生人。
證明存在三個點，它們之間用相同顏色的線連線。致謝：richtom80 Wikimedia (CC BY-SA 3.0)
例如，我們稱這些點為 A、B、C、D、E、F，並選擇其中一個點，比如 A。從 A 到其他五個點繪製的五條線中，必須有三條線是相同的顏色。
假設從 A 到 B、C、D 的線都是紅色的。如果 B、C、D 中任意兩點之間的線是紅色的，那麼就存在三個點，它們之間只有紅線。如果 B、C、D 中任意兩點之間的線都不是紅色的，那麼它們都是藍色的。
如果只有五個點呢？可能不存在三個點，它們之間所有的線都著相同的顏色。例如，線 A-B、B-C、C-D、D-E、E-A 可能是紅色的，而其他線是藍色的。
從我們所看到的，可以得出結論，邀請參加派對（每兩個人要麼是朋友，要麼是陌生人）的最小人數是六個，這樣才能保證有三個共同的朋友或三個共同的陌生人。
如果我們想要四個相互認識的朋友或四個相互不認識的陌生人呢？為了確保這一點，我們必須邀請參加派對的最小人數是多少？這個問題已經有了答案。是 18。
如果我們想要五個相互認識的朋友或五個相互不認識的陌生人呢？在這種情況下，為了保證這一點，需要邀請參加派對的最小人數是——未知的。沒有人知道。雖然這個問題很容易描述，聽起來也相當簡單，但它卻出了名的難。
拉姆齊數
我們一直在討論的是圖論中的一種數字，稱為拉姆齊數。這些數字以英國哲學家、經濟學家和數學家 弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊 的名字命名。
拉姆齊在 26 歲時去世，但在他很小的時候就獲得了一個非常奇特的數學定理，這引發了我們這裡的問題。假設我們有另一個充滿點的平面，這些點透過紅色和藍色線條連線。我們選取兩個正整數，分別命名為 r 和 s。我們希望恰好有 r 個點，它們之間所有的線都是紅色的，或者有 s 個點，它們之間所有的線都是藍色的。我們可以用最少多少個點來做到這一點？這叫做拉姆齊數。
例如，假設我們希望我們的平面至少有三個點透過全紅線連線，並且有三個點透過全藍線連線。拉姆齊數——我們需要使這種情況發生的最小點數——是六。
當數學家看待一個問題時，他們經常問自己：這是否暗示了另一個問題？這就是拉姆齊數——以及派對問題——的情況。
例如，這裡有一個問題：五個女孩正在計劃一個派對。她們決定邀請一些男孩參加派對，無論她們是否認識這些男孩。她們需要邀請多少個男孩才能確保在男孩中始終有三個男孩，並且五個女孩中的三個女孩要麼與這三個男孩都是朋友，要麼與這三個男孩都不認識？可能不容易猜到答案。答案是 41！
已知的拉姆齊數非常少。然而，這並沒有阻止數學家們嘗試解決此類問題。通常，未能解決一個問題可能會導致一個更有趣的問題。這就是數學家的生活。
本文最初發表於 The Conversation。閱讀 原文。