許多孩子從未掌握分數。當被問及 12/13 + 7/8 最接近 1、2、19 還是 21 時，在超過 20,000 名具有全國代表性的美國 8 年級學生樣本中，只有 24% 的人回答正確。這項測試幾乎是在 40 年前進行的，這讓 Hugo Lortie-Forgues 和我抱有希望，認為無數教師、數學輔導員、研究人員和政府委員會的工作已經產生了積極的影響。然而，資料 讓我們希望破滅；我們發現，在所有這些年中，同一問題的準確率僅從 24% 提高到 27%。
這些困難不僅限於分數估算問題，也沒有在 8 年級結束。在標準的分數加法、減法、乘法和除法問題中，包括同分母（例如，3/5+4/5）和異分母（例如，3/5+2/3）的問題，6 年級和 8 年級的學生傾向於只答對約 50% 的題目。對社群大學學生的調查顯示，他們的分數算術表現同樣很差。美國兒童在這些問題上的表現比他們在歐洲國家（如比利時和德國）以及亞洲國家（如中國和韓國）的同齡人差得多。
這種薄弱的知識尤其令人遺憾，因為分數是許多更高階的數學和科學領域的基礎。五年級學生的分數知識預測了高中生的代數學習和整體數學成績，即使在控制了整數知識、學生的智商及其家庭的教育程度和收入之後也是如此。在最近高中 AP 化學和物理考試的參考資料中，超過一半的公式中都包含分數。在最近對 2300 名白領、藍領和服務業工人的調查中，超過三分之二的人表示他們在工作中使用了分數。此外，在美國一項具有全國代表性的 1000 名代數 1 教師的樣本中，大多數教師認為他們的學生分數知識“差”，並將分數評為學生掌握代數的第二大障礙（僅次於“應用題”）。
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為什麼分數如此難以理解？一個主要原因是學習分數需要克服兩種型別的困難：內在的和文化相關的。內在的困難來源是那些源於分數性質的困難，所有地方的所有學習者都會面臨這些困難。一個內在的困難是用來表示分數的符號。理解關係 a/b 比理解簡單的數量 a 更困難，無論孩子生活在哪個文化或時期。另一個內在的困難涉及分數算術和整數算術之間複雜的關係。例如，乘分數涉及將整數運算獨立地應用於分子和分母（例如，3/7 * 2/7 = (3*2)/(7*7) = 6/49），但這樣做會導致分數加法得到錯誤的答案（例如，3/7 + 2/7 ≠ 5/14）。第三個內在的困難來源是不同分數算術運算之間複雜的概念關係，至少在使用標準演算法時是這樣。為什麼我們需要相同的分母才能加減分數，但乘除分數卻不需要？為什麼我們需要倒置並相乘來解決分數除法問題，以及為什麼我們要倒置分母中的分數而不是分子中的分數？這些內在的困難來源使得所有學生都難以理解分數算術。
相比之下，文化相關的困難來源可以減輕或加劇學習分數固有的挑戰。教師的理解是一個文化相關的變數：當被要求解釋分數除法問題的含義時，很少有美國教師能夠提供任何解釋，而絕大多數中國教師至少提供一種好的解釋。語言是另一個文化相關的因素；東亞語言將 3/4 這樣的分數表示為“四分之三”，這使得理解它們的含義比相對晦澀的術語（如“四分之三”）更容易。第三個這樣的變數是教科書。儘管除法是最難理解的運算，但美國教科書中關於分數除法的問題遠少於分數乘法；中國和韓國的教科書則恰恰相反。可能最根本的是文化態度：在整個東亞，數學學習都被視為至關重要，但美國對數學重要性的態度則更加多變。
鑑於分數在校內外的重要性，大量證據表明許多兒童和成人不理解分數，以及該主題固有的難度，應該做些什麼？考慮到文化相關的因素，可以採取幾個可能有用的步驟。加深教師對分數的理解可能有助於他們更有效地教學。用清晰的語言向學生解釋分數的含義（例如，解釋 3/4 意味著 3 個 1/4 單位），並要求教科書編寫者包含更多具有挑戰性的問題是其他有希望的策略。解決分數算術中固有的困難來源，特別是理解分數的大小，也可以產生很大的影響。
Fraction Face-off! 是一個為期 12 周的專案，由 Lynn Fuchs 設計，旨在幫助來自低收入背景的兒童提高他們的分數知識，該專案看起來尤其有希望。該專案透過比較和排序分數大小以及在數軸上定位分數等任務來教導兒童關於分數大小的知識。在參加 Fraction Face-off! 後，四年級學生的分數加法和減法準確率始終超過接受標準課堂課程的兒童。這一發現尤其引人注目，因為 Fraction Face-off! 用於分數算術程式顯性教學的時間少於標準課程。對於其他強調分數大小重要性的干預措施，也發現了類似的令人鼓舞的發現。這些專案可以透過鼓勵孩子們注意到像 1/3+1/2 = 2/5 這樣的答案不可能是正確的（因為總和小於其中一個被加數），從而嘗試生成更合理的答案的程式，來幫助孩子們學習分數算術。這些創新的課程似乎很值得在更廣泛的基礎上進行測試。